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Omg Womens TKEES Womens Omg Emoji TKEES TKEES Omg TKEES Womens Emoji Womens Emoji Progresiones geométricas o sucesiones geométricas

Una sucesión es una lista ordenada de números. Algunas sucesiones siguen una regla, otras no.

Cada número de una sucesión se llama un término.

Omg Emoji TKEES Omg Womens TKEES Womens Emoji Womens TKEES Womens TKEES Emoji Omg Podemos ver las sucesiones como funciones. El dominio son los números naturales.

Una sucesión geométricaNIKE Bright Crimson Orange Purple Shoe Mens total Running SE NM Court Roshe Flyknit 0OwABrOZ4q (o progresión geométrica) es una sucesión en la que los términos después del primero se obtienen multiplicando el término anterior por un número fijo distinto de cero, una constante, que se llama razón.

La palabra razón proviene de la Matemática griega y, en este contexto, significa división o cociente. La razón de una sucesión geométrica se obtiene dividiendo un término entre su anterior. Siempre se obtiene la misma constante.

Los términos de una sucesión geométrica pueden expresarse por medio de una fórmula del término general:

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Cuando la razón r es mayor que 1 obtenemos una secuencia creciente (crecimiento exponencial).

El crecimiento exponencial empieza generalmente poco a poco, lentamente, pero después de un número suficiente de pasos el crecimiento se hace cada vez mayor. Incluso cuando la razón es sólo un poco mayor que uno. Por ejemplo, éste es el resultado después de 300 pasos con una razón de 1.01.

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Si la razón r es positiva y menor que 1 la sucesión es decreciente y el término general tiende a 0.

Cuando la razón r es negativa la sucesión se dice alternante. Los signos de los sucesivos términos van cambiando.

Si la razón r está entre -1 y 0 el término general de la sucesión alternante tiende a 0.

Si la razón r es menor que -1 la sucesión alternante se hace cada vez mayor en valor absoluto. Pero los signos se van alternando.

TKEES Emoji Womens Emoji Womens Omg Emoji TKEES Womens TKEES Omg Womens Omg TKEES Podemos considerar la suma de los primeros términos de una sucesión geométrica. Esto no supone ningún problema especial pues estamo sumando unos pocos números y obtendremos un resultado.

Womens Womens Womens Omg TKEES Omg TKEES Emoji TKEES TKEES Womens Emoji Emoji Omg Además resulta que podemos encontrar una fórmula elegante (y el procedimento para obtener esta fórmula también es interesante y se puede ver en cualquier libro):

En la siguiente aplicación podemos jugar con diferentes casos con la razón positiva:

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Podemos ver el comportamiento cuando la razón es mayor que 1. En este caso la suma crece y crece:

Si sumamos los primeros términos de una sucesión geométrica con razón positiva y menos que 1 el resultado parece que se va aproximando a un número:

Si nos planteamos sumar los infinitos términos de una sucesión entonces el asunto ya no es tan trivial.

Una serie es la suma de los infinitos términos de una sucesión.

Si la razón r es positiva y menor que 1 podremos sumar los infinitos términos de una sucesión geométrica y obtendremos un número. Decimos que la serie es convergente, que se aproxima a un límite.

Si la razón r es positiva y mayor que 1 la serie no se aproxima a ningún número. Cada vez se hace mayor y mayor. Crece por encima de cualquier cota que pongamos. Decimos que la serie es divergente.

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Emoji TKEES Omg Womens Womens Womens Womens Omg TKEES TKEES Emoji TKEES Omg Emoji En la siguiente aplicación podemos jugar con el caso general. La razón puede ser positiva o negativa:

Una serie divergente y alternante:

Una serie convergente y alternante:

La condición necesaria y suficiente para la convergencia de una serie geométrica con razón r distinta de cero es:

La fórmula para calcular la suma de una serie geométrica convergente es:

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La serie geométrica de razón 1/2 es convergente. Esta serie se puede representar usando un rectángulo y dividiéndolo por la mitad sucesivamente. Aquí usamos una proporción de modo que todos los rectángulos son semejantes.
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TKEES Womens Emoji Womens Womens Omg Omg Womens Emoji Emoji TKEES TKEES Omg TKEES Omg Womens TKEES Womens TKEES Emoji Womens Emoji Womens Emoji Omg Omg TKEES TKEES A partir de una función positiva decreciente podemos definir series y aplicar el test de la integral. El test de la integral es un criterio que nos puede ayudar a decidir si una serie converge o diverge. Además, si la serie converge nos dará cotas.
Omg Emoji TKEES TKEES Emoji TKEES Emoji Omg Womens Womens Womens Omg Womens TKEES La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
Omg Womens Emoji TKEES Omg TKEES Emoji Omg TKEES Emoji Womens Womens TKEES Womens Una rotación dilatativa se obtiene combinando una rotación y una dilatación con el mismo centro.
En una espiral equiangular el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.
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